Вопрос, есть какие подводные камни при снятии/установке стартера? Какую лучше использовать смазку взамен заводской?

Если с мопедом всё в порядке, он должен заводиться в любую погоду.
Смесь тут ни при чём. У карба есть подсос, у инжектора "холодный старт".
Причин может быть две - плохие контакты в силовых жилах и загустевшая смазка внутри стартера.
Аккумулятору может не хватать сил крутить в холод, (когда его характеристики падают) из-за соплей и окислов в контактах (минус аккум - рама, плюс аккум - стартер, мотор - рама).
У софтейлов нет силовой жилы "мотор-рама". И не факт, что через места крепления мотора в раме контакт достаточный. Жилы могут окисляться в месте обжима клеммы. Раздербанить, рассмотреть концы.
Смазка в стартере превращается со временем в парафин. Загустевшая смазка внутри бендикса (обгонки) мешает ему нормально работать. Он может либо плохо крутиться, либо не до конца выскакивать. Сплошь и рядом даже на свежих относительно Харлеях. Недавно у товарища подобная проблема была (пробег 16 тыщ), пришлось заменить выскакивающий вал с бендиксом в сборе. Сначала загустевшая смазка мешала ему, потом от недовтыков износилась шестерня, цепляющая за венец и винтовые нарезы на валу. Он уже просто подклинивать начал.
Есть в стартере ещё один хитрый момент - На жопной стороне корпуса втягивающего под пятиугольной крышкой два мощных контакта, которые замыкаются при срабатывании втягивающего электромагнита и запускается мотор стартера. Если жилу силовую снимали со стартера, скорее всего контакт повернулся и к замыкающей шайбе прилегает не всей плоскостью, а точкой, краем... Этот плохой контакт в холод может сильно напрягать. Он и в тепле будет тупить при запуске, какой бы ни был хороший аккум.
Короче, установка силовой жилы на стартере должна проходить со снятой крышкой и контролем силовых контактов от проворота.
Бендикс не обязательно менять, если он закис. Его можно разобрать, промыть там всё и смазать свежим литолом. Чтобы разобрать бендикс, можно сдёрнуть задний подшипник не ломая его. Упереться за внутреннюю обойму и стянуть. Бендикс соскочит с вала и можно добраться до нутра обгонки. Если износ роликов и вала, по которому они работают минимальный, можно всё помыть, смазать, собрать и будет работать ещё много лет.

Ну нормально, чё.... Не ленивый ни разу. Я ленивый , я бы с аккумулятора начал )

модель аккума напиши.